△ ABC এ BC = p, CA = q, AB = r এবং $p^{2} > q + r^{2}$ হলে-

Created: 7 months ago | Updated: 6 months ago

Updated: 6 months ago

ক

∠A সূক্ষ্মকোণ
খ

∠A স্থূলকোণ
গ

∠C স্থূলকোণ
ঘ

∠B স্থূলকোণ

451

ব্যাখ্যাঃ

ত্রিভুজের বাহু ও কোণের সম্পর্ক নির্ণয়ের জন্য কোসাইন সূত্র (Cosine Rule) ব্যবহার করা হয়। একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু $a, b, c$ এবং তাদের বিপরীত কোণগুলো যথাক্রমে $A, B, C$ হলে, কোসাইন সূত্র অনুযায়ী আমরা পাই:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

প্রশ্নানুযায়ী, $\triangle ABC$ এর বাহুগুলো হলো $BC = p$, $CA = q$ এবং $AB = r$। এখানে $p$ হলো $∠A$-এর বিপরীত বাহু, $q$ হলো $∠B$-এর বিপরীত বাহু এবং $r$ হলো $∠C$-এর বিপরীত বাহু।

প্রদত্ত শর্তটি হলো:

$p^2 > q + r^2$

আমরা যদি কোসাইন সূত্র ব্যবহার করে $∠A$-এর প্রকৃতি নির্ণয় করতে চাই, তাহলে প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করব। এক্ষেত্রে $a=p, b=q, c=r$ হবে:

$p^2 = q^2 + r^2 - 2qr \cos A$

এখন, প্রদত্ত শর্ত এবং কোসাইন সূত্র থেকে প্রাপ্ত $p^2$ এর মান তুলনা করি:

$q^2 + r^2 - 2qr \cos A > q + r^2$

উভয় পক্ষ থেকে $r^2$ বিয়োগ করে পাই:

$q^2 - 2qr \cos A > q$

এই অসমতাটিকে বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়, এখানে $q$ এর বর্গ ($q^2$) না থেকে শুধুমাত্র $q$ রয়েছে। ত্রিকোণমিতিতে ত্রিভুজের কোণ নির্ণয়ের জন্য কোসাইন সূত্রের যে সাধারণ প্রয়োগ দেখা যায়, সেখানে বাহুগুলোর বর্গের মধ্যে সম্পর্ক (যেমন: $p^2 > q^2 + r^2$ বা $p^2 < q^2 + r^2$) ব্যবহার করা হয়। প্রদত্ত শর্তে $q$ এর পরিবর্তে $q^2$ থাকলে $∠A$ এর প্রকৃতি নির্ণয় করা সহজ হতো।

উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রশ্নটি এমন হতো যে $p^2 > q^2 + r^2$, তাহলে:

$q^2 + r^2 - 2qr \cos A > q^2 + r^2$

উভয় পক্ষ থেকে $q^2 + r^2$ বিয়োগ করে পাই:

$-2qr \cos A > 0$

যেহেতু $q$ এবং $r$ বাহুর দৈর্ঘ্য, তাই $q > 0$ এবং $r > 0$। সুতরাং $2qr$ একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

ফলে, $\cos A$ অবশ্যই ঋণাত্মক হতে হবে ($\cos A < 0$)।

একটি ত্রিভুজে যদি কোনো কোণের কোসাইন মান ঋণাত্মক হয়, তাহলে সেই কোণটি স্থূলকোণ (Obtuse angle) হয়। অর্থাৎ, $90^\circ < A < 180^\circ$। সেক্ষেত্রে $∠A$ একটি স্থূলকোণ হতো।

কিন্তু প্রদত্ত প্রশ্নানুযায়ী, $p^2 > q + r^2$ শর্তটি সরাসরি কোসাইন সূত্রের সাথে তুলনা করে $∠A$, $∠B$, বা $∠C$ এর প্রকৃতি (সূক্ষ্মকোণ বা স্থূলকোণ) সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারণ করা সম্ভব নয়। এক্ষেত্রে, প্রশ্নটিতে সম্ভবত একটি টাইপোগ্রাফিক্যাল ত্রুটি (typographical error) রয়েছে এবং $q$ এর স্থলে $q^2$ হওয়ার কথা ছিল।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়, কারণ অসমতাটি ত্রুটিপূর্ণ বলে মনে হচ্ছে।